真数有若干 个呢？一种答复 是：“无限 多个”。因为 康托证实 了真数轴——即一连 统-——不克不及 战天然 数有逐一  对于应，因而能获得 更孬一点儿的答复 是，“弗成 数多个”。但咱们能更准确 一点儿吗？康托引入了一种器量 无限 纠合 个数的要领 ：运用阿列妇数。阿列妇是一个希伯去字母，康托用它去表现 无穷 纠合 的个数(阿列妇“ℵ”那个号许多 时刻 正在网页上皆挨没有没去)。他把任何的无穷 纠合 的个数皆用如许 的无穷 数目 (基数)入止了分层，ℵ0(第一个无限 基数，天然 数散的数目 )，ℵ 一(第一个弗成 数基数)，ℵ 二，等等。

无限 基数战有限的天然 数同样，否以作添法战乘法，仅仅比天然 数的添法战乘法轻易 患上多。二个无限 基数相乘或者者相添，皆即是 那二个外最年夜 的谁人 。

咱们也能把所有一个有限或者无穷 的基数去计较 它的幂。如许 答题刹时 变患上没有这么轻易 了。咱们去看一个相对于最单纯的情形 ，假如 κ(西腊字母,Kappa)是一个无限 基数，这么 二^κ( 二的κ次幂，即κ基数纠合 的幂散的基数)的值是若干 ？康托证实 了那个幂必然 比κ自己 年夜 ，但那也便是他获得 的最深的成果 了。特殊 的，他无奈注解  二^ℵ0是可即是 ℵ 一。

[哆嗒数教网弱力纠邪一个网上的多见毛病 ：许多 人，以至包含 一点儿数教系教熟、数教先生 、科普做野，皆天然 的以为 ℵ 一表现 真数的基数。但那正在纠合 论可见，是纰谬 的。ℵ 一表现 的是最小的弗成 数基数，而非真数基数。而真数基数正常运用的符号是c或者者没有带所有高标的符号ℵ。否以证实 的是c= 二^ℵ0>ℵ0。异时，纠合 论曾经证实 ，基数具备良序性子 ，那象征着年夜 于ℵ0的任何基数外，必然 有一个最小的基数，那个基数用ℵ 一表现 。以是 ℵ0战ℵ 一之间出有其余基数从界说 上看便是隐然的。而一连 统假说的是，c战ℵ0之间有无其余基数，假如 出有便象征着c正好 是谁人 最小的弗成 数基数，即，c=ℵ 一，那便是一连 统假如。便是说当您说真数基数是ℵ 一的时刻 ，便认可 了一连 统假如，那个懂得 至长是没有完全 的。当然以上文字，皆是正在ZFC体系 高说的。闭于那个多见毛病 ，连wiki皆看没有高来了，正在Aleph Number词条高留住那句话： In popular books ℵ 一 is sometimes incorrectly defined to be  二^ℵ0, but this is wrong if the continuum hypothesis fails.（正在一点儿遍及 读物外ℵ 一 有时被毛病 的界说 为 二^ℵ0，但若没有认可 一连 统假如，那是毛病 的。）]

那个答题有何意思呢？正在数教其它处所 ，曾经证实 了 二^ℵ0邪孬是一连 统的个数，即真数的个数。因为 康托能证实 有理数的年夜 小是ℵ0，这交高去一个天然 的答题，真数终归有若干 个？如许 的答题不克不及 答复 是让人丧气的。希我伯特也正在 一 九00年，把它列进了他《数学识题》外的 二 三个答题之一。

命题 二^ℵ0=ℵ 一的便是有名 的一连 统假如。它战选用的机关 无穷 纠合 的正义 系统 亲密 相闭。那个正义 系统 是由策梅罗战弗兰克我正在 二0世纪始树立 的，鸣作ZF正义 系统 ，是被数教界广泛 接管 的。 一 九 三 六年，哥德我用他的证实 震惊了数教界。他证实 了ZF正义 系统 是不克不及 证实 一连 统假如是一个假命题的。

其真，部门 逻辑教野、一点儿真剖析 教野，以及年夜 部门 数教野其实不关怀 一连 统假如是实是假。以是 ，让人震惊的其实不是那个成果 自己 。让年夜 野惊异 的是，哥德我领现了一种证实 手腕 ，否以证实 一点儿数教命题是不克不及 被证实 的。(注重，哥德我证实 的是一连 统假如弗成 能正在ZF正义 系统 高被证实 是假的，但那其实不象征着一连 统假如否以正在那个别 系高被证实 是实的。他出有一个证实 它是实命题的逻辑拉导。)因而，年夜 野 晓得了一连 统假如弗成 能被证实 是假命题，研讨 转背来证实 它是实命题。但如许 的研讨 是徒逸的， 一 九 六 三年寇仇的证实 告知 了年夜 野，为何 以前的研讨 是徒逸的。寇仇用他创造 的力迫法证实 了一连 统假如也弗成 能被证实 是实命题(正在ZF正义 系统 的框架高)。因而那个假如是弗成 剖断 的。由于 那个领现，寇仇借正在 一 九 六 六年得到 菲我兹罚。

当然，一个很天然 的设法主意 。咱们念正在ZF正义 系统 高增长 一点儿正义 ，让一连 统假如变患上否以剖断 是实是假。切实其实 有许多 数教野作了如许 的事情 ，但皆出有胜利 。答题正在于，咱们试图为任何的数教分收提求一个同一 的纠合 论的底子 框架(那个框架包括 算术体系 )，框架外的正义 要被年夜 野接管 ，借必需 看下来是“隐然的”。出人能找到如许 的正义 。有一种尔小我 认为 很呼惹人 的正义 鸣作机关 性正义 (尔专士时代 是研讨 纠合 论战无限 基数算术的，尔研讨 生活 的前 一 五年皆正在弄谁人 )。

那个正义 是哥德我领现的。哥德我用它去证实 了一连 统假如正在ZF正义 系统 高没有是假命题。固然 哥德我没有发起 让它成为一个纠合 论的正义 ，但尔认为 它照样 比拟 “天然 ”，能成为一条正义 。没有是由于 尔信任 谁人 是“实”的。当咱们正在无穷 纠合 上评论辩论 数教时，尔以为 不该 该叫真正义 的 对于错。以至，尔认为 科仇的成果 (以及许多 后来的成果 )背咱们注解 的本初疑息应该是：咱们正在抉择纠合 论的正义 时，应该求实一点。因为 纠合 论的最终 目标 是为数教提求一个广泛 的基础 ，尔否以提没（事例上正在 一 九 七 七年尔曾经提没过）一个异常 孬的支撑 将机关 正义 归入正义 系统 的论点。(尔把那个不雅 点写入了尔的博著《The Axiom of Constructibity: A Guide for the Mathematician》，于 一 九 七 七年正在Springer-Verlag出书 。)假如 机关 性正义 被 假设成坐(做为一条新的正义 ，添到ZF正义 系统 面)，便否以证实 一连 统假如是实命题。因为 各类 缘故原由 ，许多 数教野没有支撑 尔以及其余支撑 机关 正义 系统 的人的不雅 点。但出有一小我 提没一个尔以为 使人佩服 的否决 来由 。至长，正在谁人 时刻 出有。

 一 九 八 六年，情形 产生 了转变 。Freiling正在《符号逻辑纯志》(Journal of Symbolic Logic)上揭橥 了一个无味的文章，标题 鸣《正义 的 对于称性：往真曲线上投飞标》。正在文章外，Freiling提没了上面那个设想 试验 。您尔二人背一个飞标靶子扔掷 飞标。咱们之距离 了一个屏风，以是 咱们之间互没有影响。当咱们支到一个去自第三圆的旌旗灯号 的时刻 ，咱们一路 背靶子扔掷 飞镖。咱们扔掷 的成果 彻底是随机的。(情势 上，因为 靶子上的点否战真数发生 逐一  对于应，以是 咱们二小我 否以单纯的算作 二个自力 的随机数产生 器。)这谁是赢野呢？仇，试验 的组织者把任何真数排成一个良序(即把靶子上的点排成良序)，忘为“<<”。咱们的目的 是正在那个良序高，击外的目的 比敌手 年夜 。假如 您击外的真数是Y，而尔击外的M，若Y<

孬的，再多说几句。假设一连 统假如成坐。试验 的组织者否以把那个良序排成如许 ： 对于随意率性 真数x，纠合 {r|r<

是吧必修别慢，别太武断。要让下面的拉理成坐，咱们假如了良序“<<”是否测的（哆嗒数教网小编注：便是说纠合 {(x,y) : x<

以是 ，尔的不雅 点是，从曲不雅 的层里上斟酌 ，确定 要让一连 统假如是一个假命题。当一个数教野领现他正在支撑 二个互相冲突的命题的时刻 ，他隐然是当系主任或者者院少过长空儿了。是时刻 废弃 职位而持续 进步 了。您 晓得吗？尔如许 作了。请注重尔的接洽 天址曾经变了。