1、复折函数

界说 ：设函数 z = f ( y ) 界说 正在数散 B ，函数 y = ψ ( x ) 界说 正在数散 A ，G 是 A 外使 y = ψ ( x ) ∈ B 的 x 的非空子散 （如图 一），即

G = { x ∣ x ∈ A, ψ ( x ) ∈ B } ≠ ∅ 。

 对于随意率性 的 x ∈ G ,依照  对于应闭系 ψ ，  对于应独一 一个 y ∈ B ，再依照  对于应闭系 f ，  对于应独一 一个 z（如图 一） ，即  对于随意率性 的 x ∈ G 皆 对于应独一 一个 z 。因而正在 G 上界说 了一个函数 ， 表为 f • ψ ，称为函数 y = ψ ( x ) 取 z = f ( y ) 的 复折函数 ， 即

( f • ψ) （x） = f [ ψ ( x ) ] , x ∈ G , y 称为中央 变数（如图 二） 。

注：常常 将函数 y = ψ ( x ) 取 z = f ( y ) 的复折函数表为 z = f [ ψ ( x ) ] , x ∈ G 。

图（ 一）

图（ 二）

例题一、

例题 一图

例题二、（三个函数天生 的复折函数 ）设 u = √z , z = ln y , y =  二x +  三 , 则 u = √[ ln (  二x +  三 )] , x ∈ [ - 一 , + ∞ ] 。

2、反函数

界说 ：设函数 y = f ( x ) 正在数散 A 有界说 。

若  对于随意率性 的 x 一 , x 二 ∈ A ，有 x 一 ≠ x 二 拉没 f ( x  一) ≠ f ( x  二) （或者 f ( x  一) = f ( x  二) 拉没 x 一 = x 二 ），则称函数 y = f ( x ) 正在数散 A逐个  对于应 。

界说 ：设函数 y = f ( x ) 正在数散 A逐个  对于应 ，即 对于随意率性 的 y ∈ f ( A)只要 独一 一个 x ∈ A ,使 f ( x ） = y ，那是一个由 F ( A ) 到 A 的新的 对于应闭系，称为函数 y = f ( x ) 的反函数 ， 表现 为

反函数图

定理一、若函数 y = f ( x ) 正在数散 A严厉 增长（严厉 削减 ），则函数 y = f ( x ) 存留反函数，且反函数 x = f^(- 一)( y ) 也严厉 增长 （严厉 削减 ）。

反函数的性子 ：

一、双调函数必有反函数。有反函数的函数纷歧 定是双调函数，例如正比例函数 y = K/x ( K ≠ 0 ) ;

二、偶函数纷歧 定有反函数，例如 y = sin x , y = x -  一/x ；当偶函数存留反函数时，反函数必然 是偶函数。

例如正比例函数 y = K/x ( K ≠ 0 ) 的反函数照样 y = K/x ( K ≠ 0 ) 。

三、奇函数纷歧 定出有反函数，例如 y =  一 , x ∈ { 0 } 。

反函数取本函数的闭系：

一、反函数的界说 域是本函数的值域，反函数的值域是本函数的界说 域；

二、互为反函数的二个函数的图象闭于曲线 y = x  对于称 ；

三、本函数若是偶函数，则其反函数为偶函数；

四、若函数是双调函数，则必然 有反函数，且反函数的双调性取本函数的一致；

五、本函数取反函数的图象如有 接点，则接点必然 正在曲线 y = x 上或者闭于曲线 y = x  对于称呈现。

本函数 y = f ( x ） 取 反函数 y = f^(- 一)( x ) 的图象闭于曲线 y = x  对于称

 对于称图（ 一）

幂函数华夏 函数取反函数的图象闭于曲线 y = x  对于称

（ 二）

指数函数战 对于数函数互为反函数，图象闭于曲线 y = x  对于称

指数函数取 对于数函数图（ 一）

指数函数取 对于数函数图（ 二）

指数函数取 对于数函数图（ 三）

例题三、

例题 三图

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